Triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es un arreglo "triangular" (tiene forma de triángulo pero se puede extender infinitamente hacia abajo) de números que se puede construir de la siguiente forma: En los lados izquierdo y derecho colocamos solo 1, luego, en cada entrada, escribimos la suma de los dos números que están arriba de ella; así:

1
1  1
1  2  1
1  3  3   1
1  4  6   4   1
1  5  10  10  5   1
1  6  15  20  15  6  1

Las propiedades de este triángulo son muchísimas y están estrechamente relacionadas a los números combinatóricos y las propiedades vistas hasta ahora.

Propiedades principales

Proposición. La k-ésima entrada de la n-ésima fila (k está entre 0 y n) es el número $\binom{n}{k}$.

Demostración: La demostración se basa en mostrar que la construcción del triángulo de Pascal coincide exactamente con la definición de los números combinatorios.

Sigue una lista de propiedades que el lector interesado podrá intentar demostrar utilizando combinatoria:

1. El triángulo es simétrico con respecto a una recta vertical central.
2. La suma de los números en la $n$-ésima fila es $2^n$.
3. Cada número es la suma de los dos números que están arriba de él: $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$.
4. Los números en la diagonal principal son todos $1$: $\binom{n}{0} = 1$ para todo $n$.
5. Los números en la segunda diagonal son los números naturales: $\binom{n}{1} = n$ para todo $n$.