¿Qué es contar?

Contar es una de las habilidades más importantes en el repertorio de un matemático, incluso en los más avanzados. Sin embargo, lo curioso es que, en matemática, el objetivo no es contar cantidades muy complicadas, sino todo lo contrario: contar lo menos posible. Nuestro objetivo va a ser descubrir la forma más rápida y menos tediosa de enumerar objetos.

Elegí separar esta explicación en dos partes:

• La primera parte es conceptual y tiene como objetivo mostrar cómo ordenarse para contar todas las posibilidades sin olvidarnos ni repetir posibilidades. En muchos de los problemas hay que sentarse y contar las posibilidades a mano, pero hasta no dominar esta habilidad recomiendo no pasar a la segunda parte.

• La segunda parte es más teórica y se basa en el principio de que muchos problemas de contar pueden reducirse, mediante observaciones circunstanciales, a una lista de tres o cuatro problemas "clásicos" cuya respuesta podemos ya saber de antemano. El objetivo es mostrar cómo podemos hallar la solución "inteligente" de los problemas intermedios.

Ojalá este apunte sirva como introducción al maravilloso arte de contar.

Método

La combinatoria es el área de la matemática que se encarga de contar. Paradójicamente, la tarea del matemático es hacerlo, pero contando menos posible, o, al menos, de una forma que se minimicen las chances de cometer de errores. Para contar estratégicamente existen muchísimas técnicas, algunas más conceptuales, sobre cómo organizarse para contar, y otras más concretas, como fórmulas específicas para problemas puntuales. Para empezar este largo trayecto, veremos tres ideas, más del tipo conceptual, que tienen como principal objetivo ayudarnos a evitar cometer errores.

El primer paso a la hora de contar es ordenarse. Hay que tener claro qué es lo que queremos contar y en qué orden. Este paso puede salvarnos de contar casos repetidos o incluso de olvidarnos otros.

Astucia

Cuando ya sabemos qué vamos a contar, debemos idear cómo contarlo. Muchas veces cierta observación puede simplificar mucho la cuenta: encontrar un patrón, aprovechar una cuenta que ya hicimos antes o encontrar una relación con una cosa más fácil de contar. Este paso puede salvarnos de tener que pasar todo el tiempo de la prueba contando algo que podía reducirse.

Paciencia

Por último pero no menos importante, hay que hacer la cuenta. Lo más importante es seguir la idea que teníamos prestando atención a todos los detalles o cálculos, y sobre todo, qué estamos contando en cada paso. Es común enfrascarse en las cuentas y olvidarse de qué se está contando. Este paso, bien hecho, puede salvarnos de errores de cuentas evitables.

Siempre que tengamos que revisar si una respuesta es correcta, podemos tener en mente que existen dos tipos de errores a evitar:

1. contar la misma posibilidad dos veces.
2. olvidarnos de alguna posibilidad.

Tener un método y paciencia para contar las posibilidades nos puede ayudar a evitar este tipo de errores. Sin embargo, cuando estemos contando puede ser útil hacernos preguntas concretas para cerciorarnos de qué estamos haciendo todo bien:

1. la clasificación que estamos haciendo, ¿no repite números? Rta: no, los números de uno o dos dígitos son distintos entre sí, y no se repiten.

2. la clasificación que estamos haciendo, ¿abarca todos los números? Rta: sí, porque los números menores o iguales que $1000$ sólo pueden tener uno, dos, tres o cuatro dígitos.

Lista de Problemas

Todos los problemas de esta lista pueden resolverse a mano, es decir, sentándose a contar todas las posibilidades. Los consejos presentados en esta sección, con suerte, pueden servir para hacerlo de forma más eficiente.

En la siguiente sección presento otra técnica conceptual que puede ser muy útil (aunque no indispensable), para resolver los problemas de esta lista.